Question

某商場為促銷要準備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝．要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達到三棱錐的頂點，如圖所示．設正三棱錐的底面邊長為xcm，體積為Vcm³．在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時x的值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用,空間位置關系與距離

分析：設正三棱錐側面的高為h₀，高為h，求出正三棱錐體積，利用導數(shù)的方法求解即可．

解答： 解：正三棱錐展開如圖所示．當按照底邊包裝時體積最大．
設正三棱錐側面的高為h₀，高為h．
由題意得：

3

6

x+h₀=10，解得h₀=10-

3

6

x．…（2分）
則h=

h02- x2 12

=

100- 10 3 3 x

，x∈（0，10

3

）．             …（5分）
所以，正三棱錐體積V=

1

3

Sh=

1

3

×

3

4

x²×

100- 10 3 3 x

=

3 x2

12

100- 10 3 3 x

．                          …（8分）
設y=V²=

x4

48

（100-

10 3

3

x）=

100x4

48

-

10x5

48 3

，
求導得y′=

100x3

12

-

50x4

48 3

，令y′=0，得x=8

3

，…（10分）
當x∈（0，8

3

）時，y′＞0，y隨著x的增加而增大，
當x∈（8

3

，10

3

）時，y′＜0，y隨著x的增加而減小，
所以，當x=8

3

 cm時，y取得極大值也是最大值．                         …（12分）
此時y=15360，所以V_max=32

15

 cm³．
答：當?shù)酌孢呴L為8

3

cm時，正三棱錐的最大體積為32

15

cm³．              …（14分）

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查導數(shù)知識的運用，確定正三棱錐體積是關鍵．