Question

已知點(diǎn)（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn+1

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，問(wèn)T_n＞

1000

2009

的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由點(diǎn)在函數(shù)上確定函數(shù)，進(jìn)而確定數(shù)列{a_n}，由S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn+1

（n≥2）化簡(jiǎn)S_n再求b_n．用裂項(xiàng)求和法求和．

解答： 解：（1）f（1）=a=

1

3

，∴f（x）=（

1

3

）^x；
a₁=f（1）-c=

1

3

-c，a₂=f（2）-c-[f（1）-c]=-

2

9

，
a₃=f（3）-c-[f（2）-c]=-

2

27

；
又?jǐn)?shù)列{a_n}成等比數(shù)列，a₁=

a 2 2

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，
∴c=1；
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，
∴an=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n，
∵S_n-S_n-1=（

Sn

-

Sn+1

）（

Sn

+

Sn+1

）=

Sn

+

Sn+1

（n≥2）．
又∵b_n＞0，∴

Sn

＞0，
∴

Sn

-

Sn+1

=1；
數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，
則

Sn

=n，∴sn=n2．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2n-1；又∵b₁=1；
∴b_n=2n-1；
（2）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

；
由T_n=

n

2n+1

＞

1000

2009

得
n＞

1000

9

，
則滿(mǎn)足T_n＞

1000

2009

的最小正整數(shù)n是112．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，借助函數(shù)考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和法，屬于難題．