Question

“遼寧艦”是中國(guó)第一艘航母，為保證航母的動(dòng)力安全性，擬增加運(yùn)用某項(xiàng)新技術(shù)，該項(xiàng)新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對(duì)其中的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行量化檢測(cè)，已知各項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)結(jié)果互不影響，且指標(biāo)甲、乙、丙檢測(cè)合格的概率分別為

3

4

、

2

3

、

1

2

．記指標(biāo)甲、乙、丙合格分別得4分、2分、4分，某項(xiàng)指標(biāo)不合格，則該項(xiàng)指標(biāo)得0分．
（Ⅰ）求該項(xiàng)新技術(shù)量化得分不低于8分的概率；
（Ⅱ）記該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)指標(biāo)甲、乙、丙量化檢測(cè)得分之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)指標(biāo)甲、乙、丙檢測(cè)合格分別為A，B，C，則事件“得分不低于8分”表示為ABC+A

.

B

C，ABC與A

.

B

C為互斥事件，且A，B，C彼此獨(dú)立，由此能求出該項(xiàng)新技術(shù)量化得分不低于8分的概率．
（Ⅱ）該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)指標(biāo)甲、乙、丙量化檢測(cè)得分之和為隨機(jī)變量X，由題意知X=0，2，4，6，8，10，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）記該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)指標(biāo)甲、乙、丙檢測(cè)合格分別為A，B，C，
則事件“得分不低于8分”表示為ABC+A

.

B

C，
∵ABC與A

.

B

C為互斥事件，且A，B，C彼此獨(dú)立，
∴該項(xiàng)新技術(shù)量化得分不低于8分的概率為：
P（ABC+A

.

B

C）=

3

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

=

3

8

．
（Ⅱ）該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)指標(biāo)甲、乙、丙量化檢測(cè)得分之和為隨機(jī)變量X，
由題意知X=0，2，4，6，8，10，
P（X=0）=P（

.

A

.

B

.

C

）=

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

24

，
P（X=2）=P(

.

A

B

.

C

)=

1

4

×

2

3

×

1

2

=

1

12

，
P（X=4）=P（A

.

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）=

3

4

×

1

3

×

1

2

+

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

6

，
P（X=6）=P（AB

.

C

）=+P（

.

A

BC）=

3

4

×

2

3

×

1

2

+

1

4

×

2

3

×

1

2

=

1

3

，
P（X=8）=

3

8

，
P（X=10）=

1

4

∴X的分布列為：

X	0	2	4	6	8	10
P	1 24	1 12	1 6	1 3	1 8	1 4

EX=0×

1

24

+2×

1

12

+4×

1

6

+6×

1

3

+8×

1

8

+10×

1

4

=

19

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和分布列的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．