Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，∠ABC=

π

2

，D是棱AC的中點(diǎn)，且AB=BC=BB₁=2．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求異面直線AB₁與BC₁所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)CB₁交BC₁于點(diǎn)O，利用三角形中位線的性質(zhì)證明AB₁∥OD，即可證明AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）確定∠DOB為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補(bǔ)角，再求異面直線AB₁與BC₁所成的角．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)CB₁交BC₁于點(diǎn)O，
∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∴側(cè)面BB₁C₁C是矩形，
∴O為B₁C的中點(diǎn)，且D是棱AC的中點(diǎn)，∴AB₁∥OD，…（4分）
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D                            …（6分）
（Ⅱ）解：∵AB₁∥OD，∴∠DOB為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補(bǔ)角．…（8分）
∵∠ABC=

π

2

，AB=BC=BB₁=2，
∴BD=

2

，OD=

2

，OB=

2

，
∴△OBD為等邊三角形，∴∠DOB=60°，
∴異面直線AB₁與BC₁所成的角為60°．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線線角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行的判定定理．