Question

已知圓M：2x²+2y²-8x-8y-1=0和圓N：x²+y²+2x+2y-6=0，直線l：x+y-9=0．
（1）求過(guò)圓M，N的交點(diǎn)及原點(diǎn)O的圓的方程；
（2）過(guò)直線上一點(diǎn)作使∠BAC=45°，邊AB過(guò)圓心M，且B，C在圓M上．
①當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4時(shí)，求直線AC的方程；
②求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求圓的方程為2x²+2y²-8x-8y-1+λ（x²+y²+2x+2y-6）=0（λ≠-2），把原點(diǎn)代入即可得出．
（2））①當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4時(shí)，則點(diǎn)A（4，5），而圓心M（2，2），可得|AM|=

13

，又∠BAC=45°，邊AB過(guò)圓心M，且B，C在圓M上，圓心M到邊AC所在直線的距離為d=|AM|sin∠BAC=

26

2

，設(shè)邊AC所在直線的方程為y-5=k（x-4），利用d=

|3-2k|

k2+1

=

26

2

，解得k即可．
②A點(diǎn)在直線l：x+y-9=0上，設(shè)點(diǎn)A（m，9-m），則|AM|=

2m2-18m+53

，而∠BAC=45°，邊AB過(guò)圓心M，且B，C在圓M上，且圓M的半徑為

34

2

，可得

2

2

•

2m2-18m+53

≤

34

2

，解得即可．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求圓的方程為2x²+2y²-8x-8y-1+λ（x²+y²+2x+2y-6）=0（λ≠-2），
又所求圓過(guò)原點(diǎn)O，則-1-6λ=0，得λ=-

1

6

所求圓的方程為2x2+2y2-8x-8y-1-

1

6

(x2+y2+2x+2y-6)=0，即x2+y2-

50

11

x-

50

11

y=0
（2）①當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4時(shí)，則點(diǎn)A（4，5），而圓心M（2，2），則|AM|=

13

，
又∠BAC=45°，邊AB過(guò)圓心M，且B，C在圓M上，
則圓心M到邊AC所在直線的距離為d=|AM|sin∠BAC=

26

2

，
設(shè)邊AC所在直線的方程為y-5=k（x-4），
∴d=

|3-2k|

k2+1

=

26

2

，解得k=-5或k=

1

5

．
則邊AC所在直線的方程為y-5=-5（x-4）或y-5=

1

5

(x-4)，
即5x+y-25=0或x-5y+21=0．
②∵A點(diǎn)在直線l：x+y-9=0上，設(shè)點(diǎn)A（m，9-m），則|AM|=

2m2-18m+53

，
而∠BAC=45°，邊AB過(guò)圓心M，且B，C在圓M上，且圓M的半徑為

34

2

，
則

2

2

•

2m2-18m+53

≤

34

2

，解得3≤m≤6．
即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍為[3，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的相交問(wèn)題、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．