已知點E(2,1)和圓O:x2+y2=16.
(Ⅰ)過點E的直線l被圓O所截得的弦長為4
3
,求直線l的方程;
(Ⅱ)試探究是否存在這樣的點M:M是圓O內(nèi)部的整點(平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點),且△OEM的面積S△OEM=2?若存在,求出點M的坐標,若不存在,說明理由.
考點:直線和圓的方程的應(yīng)用
專題:直線與圓
分析:(Ⅰ)分類討論,設(shè)出直線方程,利用直線l被圓O所截得的弦長,求出斜率,即可得出直線的方程;
(Ⅱ)連結(jié)OE,點A(-4,0),B(4,0)滿足S△OEA=S△OEB=2,分別過A、B作直線OE的兩條平行線l1、l2,利用M是圓O內(nèi)部的整點,即可求得結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)當直線的斜率不存在時,直線的方程為x=2,滿足直線l被圓O所截得的弦長為4
3

當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為y-1=k(x-2),
即kx-y-2k+1=0.
∵過點E的直線l被圓O所截得的弦長為4
3
,
∴圓心到直線的距離為2,∴
|-2k+1|
k2+1
=2,
∴k=-
3
4
,∴直線的方程為3x+4y-10=0.
綜上,所求方程為:x=2或3x+4y-10=0.
(Ⅱ)連結(jié)OE,點A(-4,0),B(4,0)滿足S△OEA=S△OEB=2,分別過A、B作直線OE的兩條平行線l1、l2
kOE=
1
2
,∴直線l1、l2的方程分別為:y=
1
2
(x+4)
y=
1
2
(x-4)

設(shè)點M(x,y)(x,y∈Z),則x2+y2<16.
分別解
x2+y2<16
y=
1
2
(x+4)
x2+y2<16
y=
1
2
(x-4)
,得-4<x<2
2
5
-2
2
5
<x<4

∵x,y∈Z,∴x為偶數(shù),在(-4,2
2
5
)
上x=-2,0,2對應(yīng)的y=1,2,3;
(-2
2
5
,4)
上x=-2,0,2,對應(yīng)的y=-3,-2,-1,
∴滿足條件的點M存在,共有6個,它們的坐標分別為:(-2,1),(0,2),(2,3),(-2,-3),(0,-2),(2,-1).
點評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查存在性問題的研究,考查學生分析解決問題的能力,考查分類討論是數(shù)學思想,有一定的難度.
練習冊系列答案
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已知α∈[-
π
2
π
2
],則cos2α
1
2
的概率為
 

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某一容器的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為
 

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x+y≤8
2y-x≤4
x≥0,y≥0
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A、8B、-8C、16D、24

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(2)直線l:mx-(m2+1)y=4m,m∈R,是否存在m值使直線l被圓C1所截得的弦長為
6
3
,若存在,求出m值;若不存在,說明理由.

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已知函數(shù)f(x)=log
1
2
1-kx
x-1
為奇函數(shù).
(I)求常數(shù)k的值;
(Ⅱ)若a>b>1,試比較f(a)與f(b)的大。
(Ⅲ)若函數(shù)g(x)=f(x)-(
1
2
)x+m
,且g(x)在區(qū)間[3,4]上沒有零點,求實數(shù)m的取值范圍.

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在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,則此三角形的形狀為
 
三角形.

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x2
16
+
y2
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=1
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A、4B、6C、13D、5

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A、
2
5
B、
3
10
C、
π
5
D、
1
5

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