Question

已知向量

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（-

3

2

，

1

2

），

c

=（cosθ，sinθ），則（

a

-

c

）•（

b

-

c

）的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模的公式，求出向量a，b的數(shù)量積和模，化簡三角函數(shù)式，注意運用兩角和差公式，以及三角函數(shù)的最值，即可求出最大值．

解答： 解：∵

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（-

3

2

，

1

2

），

c

=（cosθ，sinθ），
∴

a

•

b

=-

3

4

+

3

4

=0，

a

+

b

=（

1- 3

2

，

1+ 3

2

），|

c

|=1，
∴（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=

a

•

b

-

c

•（

a

+

b

）+

c

²=0-（

1- 3

2

cosθ+

1+ 3

2

sinθ）+1
=1-

2

（

2 - 6

4

cosθ+

2 + 6

4

sinθ）
=1-

2

sin（θ-15°）
∴當(dāng)sin（θ-15°）=-1時，上式取最大值1+

2

．
故答案為：1+

2

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的平方等于模的平方，考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運用兩角和差公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．