Question

已知f₁（x）=sinx-cosx，若f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*且n＞1），則f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₀₈（

π

2

）等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，通過(guò)計(jì)算即可得出其周期性f_n+4（x）=f_n（x）進(jìn)而即可得出答案．

解答： 解：∵f₁（x）=sinx-cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx+sinx，
f₃（x）=（cosx+sinx）′=-sinx+cosx，
f₄（x）=（-sinx+cosx）′=-cosx-sinx，
f₅（x）=（-cosx-sinx）′=sinx-cosx，
依此類(lèi)推，可得出f_n（x）=f_n+4（x），即函數(shù)f_n（x）具備周期性，周期是4．
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∵2008=502×4，
∴f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₀₈（

π

2

）=502×0=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運(yùn)用，熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵．