Question

設(shè)p：函數(shù)y=log_a（x+1）（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減； q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果p∧q為假，p∨q為真，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，和二次函數(shù)圖象和x軸交點的情況與判別式的關(guān)系即可求出命題p，q下的a的取值范圍．根據(jù)p∧q為假，p∨q為真即可判斷p，q的真假情況，根據(jù)p，q的真假情況即可求出a的取值范圍．

解答： 解：p：∵函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴0＜a＜1；
q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點；
∴△=（2a-3）²-4＞0，解得a＜

1

2

，或a＞

5

2

；
∵p∧q為假，p∨q為真，∴p，q一真一假；
若p真q假，則：0＜a＜1，且

1

2

≤a≤

5

2

，∴

1

2

≤a＜1；
若p假q真，則：a＞1，且a＜

1

2

，或a＞

5

2

，∴a＞

5

2

；
∴實數(shù)a的取值范圍為[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)．

點評：考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)圖象和x軸交點的情況與判別式△的關(guān)系，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的關(guān)系．