Question

是否存在過(guò)點(diǎn)P（4，0）的直線與圓C：x²+y²=4交于A，B兩點(diǎn)，使以A，B為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，若存在，求出直線的方程．若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：存在，分兩種情況考慮：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=4，顯然不成立；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為y=kx-4k，與圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂與x₁x₂，根據(jù)題意得到原點(diǎn)到直線的距離等于弦長(zhǎng)的一半，求出k的值，即可確定出直線方程．

解答： 解：存在，分兩種情況考慮：
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=4，顯然不成立；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-4）=kx-4k，
聯(lián)立得：

y=kx-4k x2+y2=4

，
消去y得：（1+k²）x²-8k²x+16k²-4=0，
∴x₁+x₂=

8k2

1+k2

，x₁x₂=

16k2-4

1+k2

，
根據(jù)題意得：原點(diǎn)到直線的距離等于弦長(zhǎng)的一半，
∵|AB|=

k2+1

|x₁-x₂|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

16-48k2 1+k2

，d=

|4k|

1+k2

=

16k2 1+k2

，
∴d=

1

2

|AB|，即

16k2 1+k2

=

1

2

×

16-48k2 1+k2

，
整理得：64k²=16-48k²，
解得：k=±1，
則直線方程為y=x-4或y=-x+4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意得到原點(diǎn)到直線的距離等于弦長(zhǎng)的一半是解本題的關(guān)鍵．