Question

某奶茶店為了回饋客戶和促銷，準(zhǔn)備推出擲骰子（投擲各面數(shù)字為1到6的均勻正方體，看面朝上的點(diǎn)數(shù)）贏積分券的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：顧客每次消費(fèi)后，可同時(shí)投擲三枚骰子一次，贏得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)和感謝將四個(gè)等級(jí)的積分卷，用于在以后來店消費(fèi)中抵用現(xiàn)金．其中一等獎(jiǎng)可獲得100個(gè)積分，二等獎(jiǎng)可獲得20個(gè)積分，三等獎(jiǎng)可獲得10個(gè)積分，感謝獎(jiǎng)可獲得5個(gè)積分．
設(shè)事件A：“三連號(hào)”；事件B：“三個(gè)同點(diǎn)”；事件C：“恰有兩個(gè)連號(hào)且恰有兩個(gè)同點(diǎn)”．
已知：①將以上三種擲骰子的結(jié)果，按出現(xiàn)概率由低到高，對應(yīng)定為一、二、三等獎(jiǎng)要求的條件；②本著人人有獎(jiǎng)原則，其余不符合一、二、三等獎(jiǎng)要求的條件均定為感謝獎(jiǎng)．
（1）請?zhí)嬖摰甓ǔ龈鱾�(gè)等級(jí)獎(jiǎng)依次對應(yīng)的事件和概率；
（2）從成本考慮，希望此次活動(dòng)的總體優(yōu)惠幅度控制在15%內(nèi)，如果準(zhǔn)備規(guī)定100個(gè)積分抵用1杯奶茶，請你從數(shù)學(xué)期望的角度替該奶茶店計(jì)算此規(guī)定能否達(dá)到此成本控制目的（假設(shè)積分利用率為100%）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）總基本事件有6³=216（個(gè)），事件A有4A

3 3

=24個(gè)基本事件，事件B共有6個(gè)基本事件，事件C：兩個(gè)連號(hào)共有1-2，2-3，3-4，4-5，5-6五種情況，每種情況有兩種同點(diǎn)可能，共有30個(gè)基本事件，由此能求出該店定出各個(gè)等級(jí)獎(jiǎng)依次對應(yīng)的事件和概率．
（2）設(shè)所獲積分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量η，則由（1）能求出其分布列和Eη，由此能求出總體優(yōu)惠幅度為10%，可以達(dá)到此成本控制目的．

解答： 解：（1）總基本事件有6³=216（個(gè)），
事件A有4A

3 3

=24個(gè)基本事件，∴P（A）=

24

216

=

1

9

；
事件B共有6個(gè)基本事件，∴P（B）=

6

216

=

1

36

；
事件C：兩個(gè)連號(hào)共有1-2，2-3，3-4，4-5，5-6五種情況，
每種情況有兩種同點(diǎn)可能，
∴共有5×2×

A

1 3

=30（個(gè)）基本事件，
∴P（C）=

30

216

=

5

36

，
∴事件B：“三個(gè)同點(diǎn)”對應(yīng)一等獎(jiǎng)，概率為

1

36

，
事件A：“三連號(hào)”對應(yīng)二等獎(jiǎng)，概率為

1

9

，
事件C：“恰有兩個(gè)連號(hào)且恰有兩個(gè)同點(diǎn)”對應(yīng)三等獎(jiǎng)，概率為

5

36

，
其余事件對應(yīng)感謝獎(jiǎng)，概率為：
1-

1

36

-

1

9

-

5

36

=

13

18

．
（2）設(shè)所獲積分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量η，則由（1）知其分布列為：

η	100	20	10	5
p	1 36	1 9	5 36	3 18

Eη=100×

1

36

+20×

1

9

+10×

5

36

+5×

13

18

=10．
∴總體優(yōu)惠幅度為

10

100

=10%，可以達(dá)到此成本控制目的．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期限，是中檔題，在歷年高考中考都是必考題型．