Question

已知數(shù)列{b_n}滿足S_n+b_n=

n+13

2

，其中S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（1）求證：數(shù)列{b_n-

1

2

}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）如果對任意n∈N^*，不等式

12k

12+n-2Sn

≥2n-7恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）求證：數(shù)列{b_n-

1

2

}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求出S_n的表達式，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵S_n+b_n=

n+13

2

，∴S_n+1+b_n+1=

n+1+13

2

，
兩式相減得b_n+1=

1

2

b_n+

1

4

，
即b_n+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

），
∵S₁+b₁=

14

2

=7，即b₁=

7

2

，
∴數(shù)列{b_n-

1

2

}是首項為b₁-

1

2

=3，公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
∴b_n-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，即b_n=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
則數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=3×(

1

2

)n-1+

1

2

；
（2）∵b_n=3×(

1

2

)n-1+

1

2

；
∴S_n=3×（1+

1

2

+

1

22

+…+(

1

2

)n-1）+

n

2

=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2

=6（1-

1

2n

）+

n

2

；
∵不等式

12k

12+n-2Sn

≥2n-7，
化簡得k≥

2n-7

2n

，
設(shè)c_n=

2n-7

2n

，則c_n+1-c_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-12

2n+1

，
當n≥5時，c_n+1≤c_n，c_n為單調(diào)遞減數(shù)列，
當1≤n＜5時，c_n+1＞c_n，c_n為單調(diào)遞增數(shù)列，

1

16

=c4＜c5=

3

32

，∴當n=5時，c_n取得最大值

3

32

，
即要使不等式

12k

12+n-2Sn

≥2n-7恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是k≥

3

32

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的判斷，以及不等式恒成立的證明，綜合考查學生的運算性質(zhì)．