Question

已知函數(shù)
（1）若定義域?yàn)镽，求a范圍
（2）若值域?yàn)镽，求a范圍．

Answer 1

解：（1）由函數(shù)的定義域?yàn)镽，
說(shuō)明x²+ax+2＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，
則不等式x²+ax+2＞0對(duì)應(yīng)二次方程的△=a²-8＜0，即．
又a＞0且a≠1，所以，0＜a＜，且a≠1．
故使函數(shù)的定義域?yàn)镽的a的取值范圍是（0，1）∪（1，）；
（2）函數(shù)的值域?yàn)镽，
說(shuō)明x²+ax+2能取到大于0的所有實(shí)數(shù)，
則不等式x²+ax+2＞0對(duì)應(yīng)二次方程的△=a²-8≥0，解得：或．
又a＞0且a≠1，所以，使函數(shù)的值域?yàn)镽的a的取值范圍是（2，+∞）．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，說(shuō)明對(duì)任意實(shí)數(shù)x，對(duì)數(shù)式的真數(shù)恒大于0，而真數(shù)是二次三項(xiàng)式，由其對(duì)應(yīng)的二次方程的判別式小于0即可求得a的取值范圍，同時(shí)兼顧對(duì)數(shù)式的底數(shù)有意義；
（2）根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)镽，說(shuō)明對(duì)數(shù)式的真數(shù)能取到大于0的所有實(shí)數(shù)，則真數(shù)上的二次三項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的拋物線頂點(diǎn)應(yīng)在x軸上或其下方，故其對(duì)應(yīng)的二次方程的判別式應(yīng)大于等于0，由此求解a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是由函數(shù)值域是R，得到真數(shù)的二次三項(xiàng)式的判別式大于等于0，是基礎(chǔ)題，解答時(shí)易忽略底數(shù)的限制條件，也是易錯(cuò)題．