精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
已知函數(shù)
.
(1)若
,當(dāng)
時,求
的取值范圍;
(2)若定義在
上奇函數(shù)
滿足
,且當(dāng)
時,
,求
在
上的反函數(shù)
;
(3)對于(2)中的
,若關(guān)于
的不等式
在
上恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】
(1)
;(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)這實質(zhì)上是解不等式
,即
,但是要注意對數(shù)的真數(shù)要為正,
,
;(2)
上奇函數(shù)
滿足
,可很快求出
,要求
在
上的反函數(shù),必須求出
在
上的解析式,根據(jù)
的定義,在
上
也應(yīng)該是一個分段函數(shù),故我們必須分別求出表達(dá)式,然后分別求出其反函數(shù)的表達(dá)式;(3)根據(jù)已知可知
是周期為4的周期函數(shù),不等式
在
上恒成立,求參數(shù)
的取值范圍問題,一般要研究函數(shù)
的的單調(diào)性,利用單調(diào)性,可直接去掉函數(shù)符號
,由已知,我們可得出
在
上是增函數(shù),在
上是減函數(shù),又
,而
可無限趨近于
,因此
時,題中不等式恒成立,就等價于
,現(xiàn)在我們只要求出
的范圍,而要求
的范圍,只要按
的正負(fù)分類即可.
試題解析:(1)原不等式可化為
1分
所以
,
,
1分
得
2分
(2)因為
是奇函數(shù),所以
,得
1分
①當(dāng)
時,![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280635110863431625_DA.files/image030.png)
1分
此時
,
,所以![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280635110863431625_DA.files/image034.png)
1分
②當(dāng)
時,
,
1分
此時
,
,所以![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280635110863431625_DA.files/image041.png)
1分
綜上,
在
上的反函數(shù)為
1分
(3)由題意,當(dāng)
時,
,在
上是增函數(shù),
當(dāng)
,
,在
上也是增函數(shù),
所以
在
上是增函數(shù),
2分
設(shè)
,則![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280635110863431625_DA.files/image051.png)
由
,得![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280635110863431625_DA.files/image053.png)
所以
在
上是減函數(shù), 2分
由
的解析式知
1分
設(shè)![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280635110863431625_DA.files/image056.png)
①當(dāng)
時,
,因為
,所以
,即
;
②當(dāng)
時,
,滿足題意;
③當(dāng)
時,
,因為
,所以
,即![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280635110863431625_DA.files/image068.png)
綜上,實數(shù)
的取值范圍為
3分
考點:(1)對數(shù)不等式;(2)分段函數(shù)的反函數(shù);(3)不等式恒成立問題.
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相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(本小題滿分12分)已知函數(shù)
.
(1)若
,試確定函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;(2)若
,且對于任意
,
恒成立,試確定實數(shù)
的取值范圍;(3)設(shè)函數(shù)
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2014屆寧夏高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版)
題型:解答題
(本題滿分12分)已知函數(shù)
,![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050410250342761407/SYS201305041025353182269684_ST.files/image002.png)
(1)若
,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)
時,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2012-2013學(xué)年湖南省岳陽市高三第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試卷(解析版)
題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù)![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_ST.files/image001.png)
.
(1)若
為
的極值點,求實數(shù)
的值;
(2)若
在
上為增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)
時,方程
有實根,求實數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2011-2012學(xué)年湖北省華中師大一附中高三上學(xué)期期中檢測文科數(shù)學(xué)試卷(解析版)
題型:解答題
已知函數(shù)
。
(1)若
,求函數(shù)
的值;
(2)求函數(shù)
的值域。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:吉林省10-11學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)
題型:解答題
已知函數(shù)
.![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052410581414062364/SYS201205241058584062847509_ST.files/image002.png)
(1)若從集合
中任取一個元素
,從集合
中任取一個元素
,求方程
有兩個不相等實根的概率;
(2)若
是從區(qū)間
中任取的一個數(shù),
是從區(qū)間
中任取的一個數(shù),求方程
沒有實根的概率.![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052410581414062364/SYS201205241058584062847509_ST.files/image002.png)
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