Question

已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)的最小值為1，且f(x)

＋g(x)為奇函數(shù)，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．

Answer 1

解　設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，

則f(x)＋g(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3，

又f(x)＋g(x)為奇函數(shù)，∴a＝1，c＝3.

∴f(x)＝x2＋bx＋3，對(duì)稱軸x＝－.

當(dāng)－≥2，即b≤－4時(shí)，f(x)在[－1,2]上為減函數(shù)，

∴f(x)的最小值為f(2)＝4＋2b＋3＝1.

∴b＝－3.∴此時(shí)無解．

當(dāng)－1<－<2，即－4<b<2時(shí)，

f(x)min＝＝3－＝1，

∴b＝±2.

∴b＝－2，此時(shí)f(x)＝x2－2x＋3，

當(dāng)－≤－1，即b≥2時(shí)，f(x)在[－1,2]上為增函數(shù)，

∴f(x)的最小值為f(－1)＝4－b＝1.

∴b＝3.∴f(x)＝x2＋3x＋3.

綜上所述，f(x)＝x2－2x＋3，

或f(x)＝x2＋3x＋3.