Question

函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）在（2）的條件下，解不等式f（a²-1）+f（2a-1）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，可得f（0）=0，再根據(jù)f（

1

2

）=

2

5

，列出關(guān)于a，b的方程組，求出即可得解析式；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明，任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）作差與0比較，從而證明函數(shù)的單調(diào)性．
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即

-ax+b

x2+1

=-

ax+b

x2+1

，
則-ax+b=-ax-b，
∴b=-b，即b=0，（或直接利用f（0）=0，解得b=0）．
∴f（x）=

ax

x2+1

，
∵f（

1

2

）=

2

5

．∴f（

1

2

）=

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

，解得a=1，
∴f（x）=

x

x2+1

．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
證明如下：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（a²-1）+f（2a-1）＜0等價(jià)為不等式f（a²-1）＜-f（2a-1），
即f（a²-1）＜f（1-2a），
∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
∴

-1＜a2-1＜1 -1＜2a-1＜1 a2-1＜1-2a

，
則

0＜a2＜2 0＜2a＜2 a2+2a-2＜0

，即

0＜a＜ 2 或- 2 ＜a＜0 0＜a＜1 -1- 3 ＜a＜-1+ 3

，
解得0＜a＜

3

-1，即不等式的解集為（0，

3

-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．