Question

若函數(shù)f（x）=4^x+（

1

a+1

）2^x+

a+2

a+1

在（-∞，+∞）上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=2^x＞0，可得函數(shù) h（t）=t²+

1

a+1

t+

a+2

a+1

在（0，+∞）上存在零點(diǎn)，再利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求得a的范圍．

解答： 解：f（x）=4^x+（

1

a+1

）2^x+

a+2

a+1

在（-∞，+∞）上存在零點(diǎn)，令t=2^x＞0，
即函數(shù) h（t）=t²+

1

a+1

t+

a+2

a+1

在（0，+∞）上存在零點(diǎn)．
∴

△= 1-4(a+1)(a+2) (a+1)2 ≥0 - 1 2(a+1) ＜0 h(0)= a+2 a+1 ＜0

 ①，或

△= 1-4(a+1)(a+2) (a+1)2 ≥0 - 1 2(a+1) ＞0

②．
解①求得 a∈∅，解②求得-

3+ 2

2

＜a＜-1，故a的范圍為（-

3+ 2

2

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．