Question

已知函數y=1-2a-2ax+2x²（-1≤x≤1）的最小值為f（a），求f（a）的表達式，并指出當a∈[-3，0]時，函數M=log

1

3

f（a）的值域．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：先確定函數的對稱軸和開口方向，由于函數要求最小值，需分三種情形討論，最后最小值寫成分段函數的形式可得函數f（a）；欲求M=log

1

3

f（a）的值域，根據對數函數的性質，關鍵是求當a∈[-2，0]時，f（a）的取值范圍，結合二次函數的性質即可解決．

解答： 解：∵y=1-2a-2ax+2x²=2(x-

a

2

)2-

a2

2

-2a+1，（-1≤x≤1），
當

a

2

＜-1，即a＜-2時，y_min=y|_x=-1=f（a）=3；
當-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，y_min=y|_x=

a

2

=f（a）=-

1

2

a2-2a+1；
當

a

2

＞1，即a＞2時，y_min=y|_x=1=f（a）=3-4a，2(x-

a

2

)2-

a2

2

-2a+111
∴f（a）=

3，a＜-2 - 1 2 a2-2a+1，-2≤a≤2 3-4a，a＞2

當a∈[-2，0]時，M=log

1

3

f（a）=log

1

3

（-

1

2

a2-2a+1），
設u=-

1

2

a2-2a+1=-

1

2

（a+2）²+3，a∈[-2，0]，則1≤u≤3，
此時M=log

1

3

u∈[-1，0]．
函數M=log

1

3

f（a）的值域為[-1，0]．

點評：本題考查了二次函數的圖象和性質，特別是求二次函數的最值，需要分類討論，做到不重不漏，解題時要學會用分類討論的思想方法解決問題．