Question

 中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的焦距為2,兩準(zhǔn)線間的距離為10.設(shè)點(diǎn)A(5,0),過(guò)點(diǎn)A作直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交橢圓C于另一點(diǎn)S.

(1) 求橢圓C的方程;

(2) 求證:直線SQ過(guò)x軸上一定點(diǎn)B;

(3) 若過(guò)點(diǎn)A作直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)D,求過(guò)B,D兩點(diǎn)、且以AD為切線的圓的方程.

Answer 1

 (1) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),

依題意得得所以b2=4.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

(2) 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),AP=tAQ,

則

結(jié)合得

設(shè)B(x,0),則=t,x==1,

所以直線SQ過(guò)x軸上一定點(diǎn)B(1,0).

(3) 設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為y=k(x-5),代入橢圓方程+=1得(4+5k2)x2-50k2x+125k2-20=0.

依題意,得Δ=0,即(50k2)2-4(4+5k2)(125k2-20)=0,

解得k=±,且方程的根為x=1.

所以D.

當(dāng)點(diǎn)D位于x軸上方時(shí),過(guò)點(diǎn)D與AD垂直的直線與x軸交于點(diǎn)E,直線DE的方程是

y-=(x-1),所以E.

所求的圓即為以線段DE為直徑的圓,方程為

+=;

同理可得當(dāng)點(diǎn)D位于x軸下方時(shí),圓的方程為

+=.