Question

對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足以下三個條件：
①； 
②，總有； 
③當，，時，都有，

則稱函數(shù)為“夢想函數(shù)”．
（Ⅰ）若函數(shù)為“夢想函數(shù)”，求．
（Ⅱ）判斷函數(shù)（）是否為“夢想函數(shù)”？若是，予以證明；若不是， 

說明理由．
（III）設函數(shù)為“夢想函數(shù)”，若，使，且，

求證：．

   

Answer 1

（Ⅰ）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知∀x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，

∴f（0）=0

（Ⅱ）顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2^x₁^+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0
 故g（x）=2^x-1滿足條件①②③，

所以g（x）=2^x-1為“夢想函數(shù)”．

（III）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．

若f（x₀）＞x₀，則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；

若f（x₀）＜x₀，則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．

故f（x₀）=x₀…