如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=2,F(xiàn)是棱BC的中點,點E在棱C1D1上,且D1E=λEC1(λ為實數(shù)).
(1)當(dāng)λ=
1
3
時,求直線EF與平面D1AC所成角的正弦值的大小;
(2)試問:直線EF與直線EA能否垂直?請說明理由.
考點:直線與平面所成的角
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,利用向量法能求出直線EF與平面D1AC所成角的正弦值.
(2)假設(shè)EF⊥EA,則
EF
EA
=0,由此推導(dǎo)出3λ2-2λ+3=0,△=4-36<0,假設(shè)不成立,從而得到直線EF不可能與直線EA垂直.
解答: 解:(1)分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則A(2,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,2),
E(0,
1+λ
,2),F(xiàn)(1,4,0),
D1A
=(2,0,-2)
,
D1C
=(0,4,-2)
,
當(dāng)λ=
1
3
時,E(0,1,2),
EF
=(1,3,-2),
設(shè)平面D1AC的一個法向量為
n
=(x,y,z)
,
n
D1A
=2x-2z=0
n
D1C
=4y-2z=0
,取y=1,則
n
=(2,1,2),
cos<
EF
,
n
>=
1
14
×3
=
14
42
,
cos<
EF
n
>0,∴<
EF
n
>是銳角,
∴直線EF與平面D1AC所成角的正弦值為
14
42

(2)假設(shè)EF⊥EA,則
EF
EA
=0,∵
EA
=(2,-
1+λ
,-2)
,
EF
=(1,4-
1+λ
,-2),∴2-
1+λ
(4-
1+λ
)+4=0,
化簡,得3λ2-2λ+3=0,
∵△=4-36<0,∴該方程無解,∴假設(shè)不成立,
即直線EF不可能與直線EA垂直.
點評:本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法,考查直線與直線是否存在的判斷與求法,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面△ADE為等邊三角形,底面BCDE是等腰梯形,且CD∥BE,DE=2,CD=4,∠CDE=60°,M為DE的中點,F(xiàn)為AC的中點,且AC=4.
(1)求證:平面AED⊥平面BCD;
(2)求證:FB∥平面ADE;
(3)求四棱錐A-BCDE的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2013年,國務(wù)院常務(wù)會議五項加強(qiáng)房地產(chǎn)調(diào)控的政策措施,俗稱“國五條”.以下是對海口市工薪階層關(guān)于“國五條”態(tài)度進(jìn)行的調(diào)查數(shù)據(jù),隨機(jī)抽取了50人,他們月收入的頻數(shù)分布情況及對“國五條”贊成的人數(shù)如下表所示:
 月收入(單位:百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)
 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5
 贊成人數(shù) 4 8 12 5 2 1
(Ⅰ)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表并回答是否有99%的把握認(rèn)為月收入以5500元為分界點對“國五條”的態(tài)度有差異;
月收入不低于5500元的人數(shù)月收入低于5500元的人數(shù)合計
贊成a=c=
不贊成b=d=
合計
參考公式:k2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k)0.500.400.500.500.500.500.500.500.500.50
k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
(Ⅱ)若對月收入在[15,25),[25,35)內(nèi)的被調(diào)查人員中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的4人中不贊成“國五條”的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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不等式mx2-mx+1>0,對任意實數(shù)x都成立,求m的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
6
)-cos2x-
1
2
cos2x+
1
2

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在區(qū)間[0,
π
2
]上的取值范圍;
(Ⅱ)△ABC中,設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(B)=1,a+c=4,求b的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx+a(a為實常數(shù)).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[
1
2
,2]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),某商品在60天內(nèi)的日銷售價和日銷售量都是時間x(天)的一次函數(shù),其中2天的銷售價和銷售量如下表所示:
時間x(天)第12天第36天
日銷售價f(x)(元/件)3628
日銷售量g(x)(件)1824
(1)寫出該商品的日銷售價f(x)和日銷售量g(x)與時間x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求日銷售額y(元)與時間的函數(shù)關(guān)系式,并求出日銷售額最高的是哪一天?最高日銷售額是多少?(日銷售額=日銷售價×日銷售量)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={0,x,x2-2},則實數(shù)x的取值組成的集合是
 

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函數(shù)y=
ax-1
的定義域是(-∞,0],則a的取值范圍是
 

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