Question

已知⊙C：x²+y²-2x+my-4=0上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于2x+y=0對(duì)稱，直線l：λx+y-λ+1=0與⊙C相交于A、B，則|AB|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：根據(jù)圓的對(duì)稱性確定圓的方程，圓心C的坐標(biāo)及半徑，因?yàn)橹本�恒過(guò)定點(diǎn)D（1，-1），所以當(dāng)直線與CD垂直時(shí)，所截得的弦長(zhǎng)|AB|最短．

解答： 解：由圓的對(duì)稱性可知，直線2x+y=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心．
∵⊙C的圓心是（1，-

m

2

），
∴2--

m

2

=0
∴m=4．
∴圓心C（1，-2），半徑r=3．
∵直線l：λx+y-λ+1=0可化為：y+1=-λ（x-1）
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)D（1，-1），
∴|CD|=1
由圓的性質(zhì)易知，AB⊥CD時(shí)，|AB|最短，∴|AB|=2

r2-|CD|2

=4

2

．
故答案為：4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的對(duì)稱性，直線與圓相交的性質(zhì)，以及過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)取最值等知識(shí)．