Question

已知函數(shù)f（x）=|x+a²|+|x+2a-5|．
（Ⅰ）當a=1時，解不等式f（x）＜5；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜5有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，不等式f（x）＜5，即|x+1|+|x-3|＜5，根據(jù)絕對值的意義求得不等式f（x）＜5的解集．
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜5有實數(shù)解，則函數(shù)f（x）的最小值小于5．利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為a²-2a+5，可得a²-2a+5＜5，由此求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|，不等式f（x）＜5，即|x+1|+|x-3|＜5．
根據(jù)絕對值的意義，|x+1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對應點到-1對應點、3對應點的距離之和，
而-

3

2

和

7

2

到-1對應點、3對應點的距離之和正好等于5，故不等式f（x）＜5的解集為（-

3

2

，

7

2

）．
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜5有實數(shù)解，則函數(shù)f（x）的最小值小于5．
∵|x+a²|+|x+2a-5|≥|x+a²-（x+2a-5）|=|a²-2a+5|=a²-2a+5，
∴a²-2a+5＜5，求得0＜a＜2．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．