Question

若數(shù)列{b_n}中b_n+1=

3bn+4

2bn+3

，b₁=2，證明：

2

＜b_n≤

2

（1+（

2

-1）^4n-3）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立；（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立．由此推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．由（1）（2）知：

2

＜b_n≤

2

（1+（

2

-1）^4n-3）．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，∵

2

＜2，b₁=2，

2

[1+(

2

-1)]=2，
∴

2

＜b₁≤

2

（1+（

2

-1）^4-3）．結(jié)論成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，
即：

2

＜b_k≤

2

（1+（

2

-1）^4k-3）．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

=

(3-2 2 )bk+(4-3 2 )

2bk+3

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＞0，
又

1

2bk+3

＜

1

2 2 +3

=3-2

2

，
∴bk+1-

2

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＜（3-2

2

）²（b_k-

2

）
≤（

2

-1）⁴（

2

（1+（

2

-1）^4n-3-

2

）
=

2

（1+（

2

-1）^4（n+1）-3）-

2

．
即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
∴由（1）（2）知：

2

＜b_n≤

2

（1+（

2

-1）^4n-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．