Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E分別是CC₁，AB的中點．
（1）求證：CE∥平面A₁BD；
（2）若H為A₁B上的動點，CH與平面A₁AB所成的最大角的正切值為

15

2

，求側棱AA₁的長．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）通過補形，延長延長A₁D交AC的延長線于點F，連接BF，從而可證明CE∥BF，然后由線面平行的判定定理得證；
（2）由已知找出C點在平面A₁AB上的射影CE，CE為定值，要使直線CH與平面A₁AB所成最大角的正切值為

15

2

，則點H到E點的距離應最小，由此得到H的位置，進一步求出EH的長度，則在直角三角EHB中可得到BH的長度，由平幾相似關系得AA₁．

解答： （1）證明：延長A₁D交AC的延長線于點F，連接BF．
∵CD∥AA₁，且CD=

1

2

AA₁，
∴C為AF的中點．
∵E為AB的中點，
∴CE∥BF．
∵BF?平面A₁BD，CE?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD．
（2）解：∵AA₁⊥面ABCCE?面ABC，∴AA₁⊥CE
又△ABC等邊，E是中點，
∴CE⊥AB，CE=

3

2

AB=

3

∴CE⊥面AA₁B，連接EH，則∠EHC為CH與平面AA₁B所成的角．
在Rt△CEH中，tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

，
∴EH最短時∠EHC最大
此時，EH⊥A₁B，
∴tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

=

15

2

，∴EH=

2 5

5

由平幾相似關系得AA₁=4．

點評：本小題主要考查空間線面位置關系、二面角等基礎知識，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數學思想方法．是中檔題．