Question

已知△ABC的邊AB所在直線的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿足

BM

=

MC

，點(diǎn)T（-1，1）在AC邊所在直線上且滿足

AT

•

AB

=0．
（1）求AC邊所在直線的方程．
（2）求△ABC外接圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）利用相互垂直的正弦斜率之間的關(guān)系可得直線AC的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出；
（2）利用直角三角形的外接圓的性質(zhì)可知：斜邊的中點(diǎn)即為外接圓的圓心，求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出半徑．

解答： 解：（1）∵

AT

•

AB

=0，
∴AT⊥AB，又T在AC上，
∴AC⊥AB，△ABC為直角三角形，
又AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，
∴直線AC的斜率為-3．
又∵點(diǎn)T（-1，1）在直線AC上，
∴AC邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．
（2）AC與AB的交點(diǎn)為A，
∴由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
∵

BM

=

MC

，
∴M（2，0）為Rt△ABC斜邊上的中點(diǎn)，即為Rt△ABC外接圓的圓心，
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
從而△ABC外接圓的方程為（x-2）²+y²=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相互垂直的正弦斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式、直角三角形的外接圓的性質(zhì)、直線的交點(diǎn)、兩點(diǎn)之間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．