Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是橢圓上不同于的另一點(diǎn)，問是否存在以為直徑的圓過點(diǎn)？若存在，求出圓的方程，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）依題可設(shè)橢圓方程為   

則，     -------------2分

故曲線C的方程為．  ------------------- 3分

（2）法一：由橢圓定義得         -----1分

聯(lián)立得 -------2分

又，有

     

P的縱坐標(biāo)為1，               -------------------3分

把代入得或（舍去）

                       -------------------4分

法二：由得點(diǎn)P在以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線的上支上，                          -------------------1分

雙曲線的方程為      -------------------2分

聯(lián)立得 ------------------3分

因P在第一象限內(nèi)，故  

                      -------------------4分

（3）設(shè)存在滿足條件的圓，則，設(shè)，則   

          -------------------1分

得     

得                       -------------------2分

又，       -------------------3分

或            -------------------4分    

，

圓G為：   -------------6分

或，

圓G為：    ------------7分