Question

（本題14分）

已知函數(shù)，．

(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

(2)試討論的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

(1) ;

(2) 當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為,，單調(diào)減區(qū)間為

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)函數(shù)在某區(qū)間上為增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)值在此區(qū)間大于或等于0，即 ，將其轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立問題，只需，求出即可；(2)由構(gòu)造法，構(gòu)造函數(shù)，則，與同正負(fù)，考察函數(shù)，計算，下面對進行討論：

當(dāng)即時，分兩種情況討論：①當(dāng)時、②當(dāng)時

當(dāng)即時，討論、的正負(fù)，若>0,則此區(qū)間為增區(qū)間，若<0，則此區(qū)間為減區(qū)間.

試題解析：（1）因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)，恒成立 2分

由得：

因為二次函數(shù)在的最小值為， 4分

從而有，

所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減. 5分

（2），構(gòu)造函數(shù)，則

函數(shù)的定義域為，與同正負(fù) 6分

考察函數(shù)，計算，下面對進行討論

. 當(dāng)即時，分兩種情況討論：

①當(dāng)時：

當(dāng)時，，即，所以的單調(diào)增區(qū)間為；

且當(dāng)時，，即，所以的單調(diào)減區(qū)間為

8分

②當(dāng)時：

當(dāng)和時，，即，所以的單調(diào)增區(qū)間為和； 9分

當(dāng)時，，即，所以的單調(diào)減區(qū)間為

10分

. 當(dāng)即時，對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為 12分

綜上，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為 14分

考點：1、導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性；2、不等式恒成立、3、分類整合思想.