Question

（本題14分）

已知函數(shù)，．

(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

(2)試討論的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

(1) ;

(2) 當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

當時，的單調(diào)增區(qū)間為,，單調(diào)減區(qū)間為

當時，的單調(diào)增區(qū)間為

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)函數(shù)在某區(qū)間上為增函數(shù)，則其導數(shù)值在此區(qū)間大于或等于0，即 ，將其轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立問題，只需，求出即可；(2)由構造法，構造函數(shù)，則，與同正負，考察函數(shù)，計算，下面對進行討論：

當即時，分兩種情況討論：①當時、②當時

當即時，討論、的正負，若>0,則此區(qū)間為增區(qū)間，若<0，則此區(qū)間為減區(qū)間.

試題解析：（1）因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當，恒成立 2分

由得：

因為二次函數(shù)在的最小值為， 4分

從而有，

所以，當時，在上單調(diào)遞減. 5分

（2），構造函數(shù)，則

函數(shù)的定義域為，與同正負 6分

考察函數(shù)，計算，下面對進行討論

. 當即時，分兩種情況討論：

①當時：

當時，，即，所以的單調(diào)增區(qū)間為；

且當時，，即，所以的單調(diào)減區(qū)間為

8分

②當時：

當和時，，即，所以的單調(diào)增區(qū)間為和； 9分

當時，，即，所以的單調(diào)減區(qū)間為

10分

. 當即時，對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為 12分

綜上，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

當時，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

當時，的單調(diào)增區(qū)間為 14分

考點：1、導數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性；2、不等式恒成立、3、分類整合思想.