Question

已知函數(shù)f（x）=

A

2

-

A

2

cos（2ωx+2φ）（A＞0，0＜φ＜

π

2

），且y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)P（1，2）．
（1）求φ的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[-3，3]上的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為M、N，求

PM

與

PN

的夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值．
（2）由（1）可知，f（x）=1+sin

π

2

x，求得

PM

和

PN

的坐標(biāo)，再根據(jù)cos＜

PM

 

PN

＞=

PM • PN

| PM |•| PN |

，求得

PM

與

PN

的夾角．

解答： 解：（1）由題可知，

A

2

+

A

2

=2，求得A=2．
再根據(jù)

T

2

=2=

π

2ω

，ω=

π

4

，故f（x）1-cos（

π

2

x+2φ）．
又其圖象過(guò)點(diǎn)P（1，2），∴f（1）=1-cos（

π

2

+2φ）=1+sin2φ=2，∴sin2φ=1，
∴φ=kπ+

π

4

 （k∈z），而0＜φ＜

π

2

，故φ=

π

4

．
（2）由（1）可知，f（x）=1-cos（

π

2

x+

π

2

）=1+sin

π

2

x，
∴由函數(shù)f（x）的圖象易知，M（-1，0）、N（3，0），
又P（1，2），∴

PM

=（-2，-2），

PN

=（2，-2），
∴cos＜

PM

 

PN

＞=

PM • PN

| PM |•| PN |

=0，即求

PM

與

PN

的夾角為

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．