Question

已知二次函數f（x）有兩個零點0和-2，且f（x）最小值是-1，函數g（x）與f（x）的圖象關于原點對稱．
（Ⅰ）求f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）滿足h（x+2）=h（x），且0≤x≤2時，h（x）=g（x），若方程h（x）=1的所有正根從小到大依次排列所得數列記為{x_n}，求數列{x_n}的前10項和S₁₀．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,數列的求和

專題：函數的性質及應用

分析：（I）依題意，設f（x）=ax（x+2）=ax²+2x（a＞0），通過對稱軸求出a的值即可，通過對稱性對稱g（x）的表達式；
（II）由h（x+2）=h（x）得函數h（x）是以2為周期的周期函數，通過討論x的范圍，得到數列{x_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，從而解決問題．

解答： 解：（I）依題意，設f（x）=ax（x+2）=ax²+2x（a＞0）．…（1分）
∵f（x）圖象的對稱軸是x=-1，
∴f（-1）=-1，即a-2=-1，得a=1．…（3分）
∴f（x）=x²+2x．…（4分）
又∵函數g（x）的圖象與f（x）的圖象關于原點對稱，
∴g（x）=-f（-x）=-x²+2x．…（6分）
（II）由h（x+2）=h（x）得函數h（x）是以2為周期的周期函數，…（7分）
又0≤x≤2時，h（x）=g（x）=-x²+2x，
故0≤x≤2時，h（x）=1的根為x₁=1，…（9分）
類似的x₂=3，x₃=5，
所以數列{x_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，…（11分）
從而S10=10×1+

10×9

2

×2=100…（13分）

點評：本題考查了求函數的解析式問題，考查了數列求和問題，是一道中檔題．