Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC₁上，F(xiàn)為BB₁中點(diǎn)，且FD⊥AC₁，有下述結(jié)論
（1）AC₁⊥BC；
（2）

AD

DC1

=1；
（3）二面角F-AC₁-C的大小為90°；
（4）三棱錐D-ACF的體積為

3

3

．
正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AB₁，則∠B₁C₁A即為BC和AC₁所成的角，由余弦定理，即可判斷；
（2）連接AF，C₁F，由正三棱柱的定義，即可判斷；
（3）連接CD，則CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，則∠CDF為二面角F-AC₁-C的平面角，通過(guò)解三角形CDF，即可判斷；
（4）由于AD⊥平面CDF，通過(guò)V_D-ACF=V_A-DCF即可求出體積．

解答： 解：（1）連接AB₁，則∠B₁C₁A即為BC和AC₁所成的角，在三角形AB₁C₁中，B₁C₁=2，AB₁=2

2

，
AC₁=2

2

，cos∠B₁C₁A=

8+4-8

2×2 2 ×2

=

2

4

，
故（1）錯(cuò)；
（2）連接AF，C₁F，則易得AF=FC₁=

5

，
又FD⊥AC₁，則AD=DC₁，故（2）正確；
（3）連接CD，則CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，
則∠CDF為二面角F-AC₁-C的平面角，CD=

2

，CF=

5

，DF=

AF2-AD2

=

5-2

=

3

，
即CD²+DF²=CF²，故二面角F-AC₁-C的大小為90°，故（3）正確；
（4）由于CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，則AD⊥平面CDF，
則V_D-ACF=V_A-DCF=

1

3

•AD•S_△DCF=

1

3

×

2

×

1

2

×

2

×

3

=

3

3

．故（4）正確．
故答案為：（2）（3）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正三棱柱的定義和性質(zhì)，考查線面垂直的判定和性質(zhì)，空間的二面角，以及棱錐的體積，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)換法，屬于中檔題．