Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前項(xiàng)和，對于任意n∈N^*的滿足關(guān)系式2S_n=3a_n-3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是bn=

1

log3an•log3an+1

，前項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2S_n=3a_n-3，可得當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1，化為a_n=3a_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=2S₁=3a₁-3，解得a₁=3．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）bn=

1

log3an•log3an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，∴當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1=（3a_n-3）-（3a_n-1-3），化為a_n=3a_n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=2S₁=3a₁-3，解得a₁=3．∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=3ⁿ．
（2）bn=

1

log3an•log3an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
其前項(xiàng)和為T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．