Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，二面角的大小為60°.

（1）求證：平面BDE；

（2）試在線(xiàn)段AC上找一點(diǎn)P，使得PF與CD所成的角是60°.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）P為AC的中點(diǎn)

【解析】

(1）要證平面，直線(xiàn)證明直線(xiàn)平行平面內(nèi)的直線(xiàn)即可；
(2) 以 為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出線(xiàn)段上點(diǎn)的坐標(biāo)，由與所成的角是60°,得到向量夾角的余弦值為 , 由此可求得點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）證明：設(shè)，連接NE，

，，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，

，，

四邊形AMEN為平行四邊形，

，

又平面BDE，平面BDE，

平面BDE.

（2）如圖，以 為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

則，，，，

，，，

，，，

平面ADF，

為平面DAF的法向量，

設(shè)平面BDF的法向量為，

，即，

令，則平面BDF的一個(gè)法向量為

設(shè)二面角的大小為θ，

則，

解得，

設(shè)，，，

則，解得或（舍去），

所以當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)PF與CD所成的角為60°.