Question

經(jīng)過點，傾斜角為的直線，與曲線：（為參數(shù)）相交于兩點．

（1）寫出直線的參數(shù)方程，并求當(dāng)時弦的長；

（2）當(dāng)恰為的中點時，求直線的方程；

（3）當(dāng)時，求直線的方程；

（4）當(dāng)變化時，求弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

(1);(2);(3)或

（4）

【解析】

試題分析：(1)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程；掌握常見的將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程;(2)解決直線和曲線的綜合問題：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，可由點斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與曲線的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.（4）根據(jù)題意設(shè)點根據(jù)點到直線的距離公式.

試題解析：解：（1）的參數(shù)方程（為參數(shù)）．            1分

曲線化為：，將直線參數(shù)方程的代入，得           

 

∵恒成立，                      3分

∴方程必有相異兩實根，且，．

∴

∴當(dāng)時，．                        5分

（2）由為中點，可知，

∴，

故直線的方程為．                       7分

（3）∵，得

∴,

∴或

故直線的方程為或                 9分

（4）∵中點對應(yīng)參數(shù)

∴（ 參數(shù) ），消去，得

弦的中點的軌跡方程為；

軌跡是以為圓心，為半徑的圓．                   10分

考點：（1）求弦長問題；（2）求直線方程；（3）中點弦的軌跡方程.