Question

設(shè)G、M分別是△ABC的重心和外心，A（0，-a），B（0，a）（a＞0），且，
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）是否存在直線m，使m過點(diǎn)（a，0）并且與點(diǎn)C的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，且？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)C（x，y），則G（），由題意知M（，0），再由M為△ABC的外心，可求出點(diǎn)C的軌跡方程．
（2）假設(shè)直線m存在，設(shè)方程為y=k（x-a），由得：（1+3k²）x²+6k²ax+3a²（k²-1）=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出存在直線m，其方程為y=（x-a）．
解答：解：（1）設(shè)C（x，y），則G（），
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214434606104638/SYS201310232144346061046018_DA/5.png">，所以GM∥AB，則M（，0）
由M為△ABC的外心，則|MA|=|MC|，即，
整理得：；（5分）
（2）假設(shè)直線m存在，設(shè)方程為y=k（x-a），
由得：（1+3k²）x²+6k²ax+3a²（k²-1）=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，
，
由得：x₁x₂+y₁y₂=0，
即，解之得k=±，
又點(diǎn)（a，0）在橢圓的內(nèi)部，直線m過點(diǎn)（a，0），
故存在直線m，其方程為y=（x-a）．（12分）
點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意求軌跡方程的技巧．