Question

設(shè)G、M分別是△ABC的重心和外心，A（0，-a），B（0，a）（a＞0），且

GM

=λ

AB

，
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）是否存在直線m，使m過(guò)點(diǎn)（a，0）并且與點(diǎn)C的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，且

OP

-

OQ

=0？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)C（x，y），則G（

X

3

，

Y

3

），由題意知M（

X

3

，0），再由M為△ABC的外心，可求出點(diǎn)C的軌跡方程．
（2）假設(shè)直線m存在，設(shè)方程為y=k（x-a），由

y=k(x-a) x2 3a2 + y2 a2 =1，(x≠0)

得：（1+3k²）x²+6k²ax+3a²（k²-1）=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出存在直線m，其方程為y=±

3

（x-a）．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），則G（

X

3

，

Y

3

），
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

GM

=λ

AB

，所以GM∥AB，則M（

X

3

，0）
由M為△ABC的外心，則|MA|=|MC|，即

( x 3 )2+a2

=

( x 3 -x)2+y2

，
整理得：

x2

3a2

+

y2

a2

=1(x≠0)；（5分）
（2）假設(shè)直線m存在，設(shè)方程為y=k（x-a），
由

y=k(x-a) x2 3a2 + y2 a2 =1，(x≠0)

得：（1+3k²）x²+6k²ax+3a²（k²-1）=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

6k2a

1+3k2

，x1x2=

3a2(k2-1)

1+3k2

，
y1y2=k2(x1-a) (x2-a) =-

2k2a2

1+3k2

，
由

OP

-

OQ

=0得：x₁x₂+y₁y₂=0，
即

3a2(k2-1)

1+3k2

+

-2k2a2

1+3k2

=0，解之得k=±

3

，
又點(diǎn)（a，0）在橢圓的內(nèi)部，直線m過(guò)點(diǎn)（a，0），
故存在直線m，其方程為y=±

3

（x-a）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意求軌跡方程的技巧．