Question

（本小題滿分14分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足,且,其中.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式;

（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為,令,其中,試比較與的大小,并加以證明.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）因為,即………2分

又,所以有,所以…………3分

所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由得,解得……4分

故數(shù)列的通項公式為…………5分

（Ⅱ）因，………6分， 所以

即數(shù)列是首項為,公比是的等比數(shù)列，所以…………7分

則，又

………9分

當時，

當時，，當時，

猜想：（）…………10分，下面用數(shù)學歸納法證明

①當時，,上面不等式顯然成立；………11分

②假設當時，不等式成立…………12分

當時，………13分

綜上①②對任意的均有

又， 所以對任意的均有…………14分

證明二：(Ⅱ) 因，………6分， 所以

即數(shù)列是首項為,公比是的等比數(shù)列，所以…………7分

則，又

………9分

當時，………10分

因為………12分

        ∵，∴………13分

 ，即對任意的均有………14分