Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中實數(shù)a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點且g（x）存在最小值時，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），a＞0，由f′（x）＞0，得x＜-a，x＞

a

3

．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）g（x）對稱軸為x=

1

a

，當(dāng)a＞0時，a≥

a

3

且a≥

1

a

；當(dāng)a＜0時，a+2≤

a

3

且a+2≤

1

a

．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）由已知條件知（a²-2））=0只有一個實根，二次函數(shù)y=g（x）有最小值，由此能求出h（a）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²-a²x+1，
∴f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
∵a＞0，∴由f′（x）＞0，得x＜-a，x＞

a

3

．
∴f（x）的遞減區(qū)間為(-a，

a

3

)；
遞增區(qū)間為(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)…（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=ax²-2x+1=a（x-

1

a

）²-

1

a

+1，
∴對稱軸為x=

1

a

，
當(dāng)a＞0時，由（Ⅰ）知f（x）的遞增區(qū)間為(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)，
∵g（x）在(

1

a

，+∞)遞增，
依題意(a，a+2)⊆(

a

3

，+∞)，
且（a，a+2）⊆（

1

a

，+∞），∴a≥

a

3

且a≥

1

a

，解得a≥1．…（6分）
當(dāng)a＜0時，f（x）的遞增區(qū)間為(-∞，

a

3

)，(-a，+∞)，
g（x）在(-∞，

1

a

)遞增，
依題意(a，a+2)⊆(-∞，

a

3

)且（a，a+2）⊆（-∞，

1

a

），
∴a+2≤

a

3

且a+2≤

1

a

，解得a≤-3．
∴實數(shù)a的取值范圍為a≤-3或a≥1．（8分）
（Ⅲ）由函數(shù)y=f（x），y=g（x）關(guān)于x方程：x³+ax²-a²x+1=ax²-2x+1，
即（a²-2））=0只有一個實根，
∴a²-2≤0，解得-

2

≤a≤

2

．
二次函數(shù)y=g（x）存在最小值，
∴a＞0，∴0＜a≤

2

…（10分）
∵g（x）=ax²-2x+1=a（x-

1

a

）²-

1

a

+1，
∴h(a)=1-

1

a

，∴h（a）的值域為(-∞，1-

2

2

]．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的值域的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．