Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，左頂點(diǎn)，離心率，為右焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）．
(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)的面積時(shí)，求直線PQ的方程；
(3)求的范圍．

Answer 1

（1）；（2）或；（3）（2,6）

試題分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)題意可a，利用離心率求得c，則b可求得，橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出和，則利用弦長(zhǎng)公式可表示出|PQ|，進(jìn)而可表示出的面積方程可得．
（3）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立函數(shù)關(guān)系式，利用橢圓的范圍找到定義域，利用二次函數(shù)即可求范圍.
試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為 (a>b>0) ，由已知
∴                            2分
∴ 橢圓方程為．                         4分
（2）解法一: 橢圓右焦點(diǎn)． 設(shè)直線方程為（∈R）．  5分
由   得．①              6分
顯然，方程①的．設(shè)，則有．                            8分
由的面積==
解得：．
∴直線PQ 方程為，即或．       10分
解法二： 
．                        6分
點(diǎn)A到直線PQ的距離                   8分
由的面積= 解得．
∴直線PQ 方程為，即或．       10分
解法三： 橢圓右焦點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意．   5分
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，           
由 得．  ①        6分
顯然，方程①的．
設(shè)，則．         7分

=．                    8分
點(diǎn)A到直線PQ的距離                   9分
由的面積=   解得．
∴直線的方程為，即或．       10分
（3）設(shè)P的坐標(biāo)（則 ∴
故
                    12分
∵∴的范圍為（2,6）                 14分
（注：以上解答題其他解法相應(yīng)給分）