Question

如圖，在三棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為△內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，

求證：∥面；

（Ⅲ）若，，

求二面角的余弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image104.gif'>平面，平面，

       所以．

      又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image106.gif'>，且，

所以平面．

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image183.gif'>平面，

所以．                              

（Ⅱ）

解法1:因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image104.gif'>平面，所以，．又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image106.gif'>，

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，，

則，，，

，．

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image114.gif'>，

所以．

于是，

，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量

，則有

 即 

不妨設(shè)，則有，所以．

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image205.gif'>，

所以．又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image207.gif'>平面，

所以∥平面．                                   ………………  9分

 

解法2：

取中點(diǎn)，連，則.

由已知可得,

則點(diǎn)在上.連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連.

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image215.gif'>分別為的中點(diǎn)，

所以∥,即為的中點(diǎn).

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image111.gif'>為線段的中點(diǎn)，

所以∥.

又平面,平面,

所以∥平面．

………………  9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量．

     又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image107.gif'>面，所以面的一個(gè)法向量是．

   又，

由圖可知，二面角為銳角，

       所以二面角的余弦值為．                 ………………  14分