【題目】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為p,公差為
,對(duì)于不同的自然數(shù)
,直線
與
軸和指數(shù)函數(shù)
的圖象分別交于點(diǎn)
與
(如圖所示),記
的坐標(biāo)為
,直角梯形
、
的面積分別為
和
,一般地記直角梯形
的面積為
.
(1)求證:數(shù)列是公比絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列;
(2)設(shè)的公差
,是否存在這樣的正整數(shù)
,構(gòu)成以
,
,
為邊長(zhǎng)的三角形?并請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)設(shè)的公差
為已知常數(shù),是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得(1)中無(wú)窮等比數(shù)列
各項(xiàng)的和
?并請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)不存在,詳見解析(3)存在,證明見解析
【解析】
(1),直角梯形
的兩底長(zhǎng)度
,
.高為
,利用梯形面積公式表示出
.利用等比數(shù)列定義進(jìn)行證明即可;
(2),
,以
,
,
為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形,則
考查不等式解的情況作解答;
(3)利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式,將化簡(jiǎn)為
,則
,探討p的存在性.
解:(1),
,
,
對(duì)于任意自然數(shù)n,,
所以數(shù)列是等比數(shù)列且公比
,
因?yàn)?/span>,所以
;
(2),
,
對(duì)每個(gè)正整數(shù),
,
若以,
,
為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形,
則,即
,
即有,這是不可能的.
所以對(duì)每一個(gè)正整數(shù),以
,
,
為邊長(zhǎng)不能構(gòu)成三角形;
(3)由(1)知,,
,
所以,
若,則
兩邊取對(duì)數(shù),知只要取值為小于
的實(shí)數(shù),
就有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:①若
,則
;②
的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱;③函數(shù)
在
上單調(diào)遞增;④
的圖象向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于
軸對(duì)稱.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A.①②④B.①②C.③④D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)
,如果對(duì)任意
,恒有
成立,則稱
為
階縮放函數(shù).
(1)已知函數(shù)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)
時(shí),
,求
的值;
(2)已知函數(shù)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)
時(shí),
,求證:函數(shù)
在
上無(wú)零點(diǎn);
(3)已知函數(shù)為
階縮放函數(shù),且當(dāng)
時(shí),
的取值范圍是
,求
在
上的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)
,
,
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍,并證明
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,曲線由兩個(gè)橢圓
:
和橢圓
:
組成,當(dāng)
成等比數(shù)列時(shí),稱曲線
為“貓眼曲線”.
(1)若貓眼曲線過(guò)點(diǎn)
,且
的公比為
,求貓眼曲線
的方程;
(2)對(duì)于題(1)中的求貓眼曲線,任作斜率為
且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交,交橢圓
所得弦的中點(diǎn)為M,交橢圓
所得弦的中點(diǎn)為N,求證:
為與
無(wú)關(guān)的定值;
(3)若斜率為的直線
為橢圓
的切線,且交橢圓
于點(diǎn)
,
為橢圓
上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)
與點(diǎn)
不重合),求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,
底面
,
,
.D,E分別為
,
的中點(diǎn),過(guò)
的平面與
,
相交于點(diǎn)M,N(M與P,B不重合,N與P,C不重合).
(1)求證:;
(2)求直線與平面
所成角的大小;
(3)若直線與直線
所成角的余弦值
時(shí),求
的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若是一個(gè)集合,
是一個(gè)以
的某些子集為元素的集合,且滿足:(1)
屬于
,
屬于
;(2)
中任意多個(gè)元素的并集屬于
;(3)
中任意多個(gè)元素的交集屬于
,則稱
是集合
上的一個(gè)拓補(bǔ).已知集合
,對(duì)于下面給出的四個(gè)集合
:
①②
③④
其中是集合上的拓補(bǔ)的集合
的序號(hào)是______.(寫出所有的拓補(bǔ)的集合
的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市在開展創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”活動(dòng)中,工作有序扎實(shí),成效顯著,尤其是城市環(huán)境衛(wèi)生大為改觀,深得市民好評(píng).“創(chuàng)文”過(guò)程中,某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護(hù)問(wèn)題情況的問(wèn)卷調(diào)查,現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組
,第3組
,第4組
,第5組
,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出a的值;
(2)若已從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,現(xiàn)要再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,設(shè)第2組抽到人,求隨機(jī)變量
的分布列及數(shù)學(xué)期望
.
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