Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（a^x+

1

ax

）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f（x）的定義域為R，且f（-x）=f（x），可得f（x）為偶函數(shù)．
（2）設(shè)h（x）=a^x+

1

ax

，利用定義證明，h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，再討論a的范圍，可得
f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答：解：（1）由已知可得f（x）的定義域為R，根據(jù)f（-x）=log_a（a^-x+

1

a-x

）
=log_a（a^x+

1

ax

）=f（x），
故f（x）為偶函數(shù)．
（2）設(shè)h（x）=a^x+

1

ax

，當(dāng)a＞1時，令x₁＞x₂＞0，故h（x₁）＞h（x₂），
log_ah（x₁）＞log_ah（x₂），即f（x₁）＞f（x₂），故當(dāng)a＞1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
同理可證當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的
數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．