Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²+2
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間[-2，4]上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求；
（2）求得f（x）的極值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由f（x）=x³-3x²+2，得f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
當f′（x）＞0時，解得x＜0或x＞2；
當f′（x）＜0時，解得0＜x＜2．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（2+∞））；
單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（2+∞））；
單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．
∴函數(shù)在[-2，0）上遞增，在[0，2]上遞減，在[2，4]上遞增，
且函數(shù)在x=0處取得極大值f（0）=2，在x=2處取得極小值f（2）=-2，
∵f（4）=18，f（-2）=-18，
若函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間[-2，4]上有三個零點，
等價為f（x）=m有三個不同的根
則有-2＜m＜2，故實數(shù)m的取值范圍（-2，2）．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、函數(shù)的零點，考查不等式的求解，考查學生綜合運用知識解決問題的能力