Question

已知函數(shù)f（x）=ax-（2a-1）lnx+b
（1）若f（x）在x=1處的切線方程為y=x，求實數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)a＞

1

2

時，研究f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=1時，f（x）在區(qū)間（

1

e

，e）上恰有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=a-

2a-1

x

，得k=f′（1）=a-2a+1=1，解得：a=0，由f（1）=ln1+b=1，解得：b=1，
（2）由f′（x）=

ax-(2a-1)

x

，且a＞

1

2

，令f′x）＞0，解得：x＞2-

1

a

，令f′x）＜0，解得：0＜x＜2-

1

a

，從而f（x）在（0，2-

1

a

）遞減，在（2-

1

a

，+∞）遞增；
（3）a=1時，f（x）=x-lnx+b，得f′（x）=1-

1

x

，從而f（x）在（

1

e

，1）遞減，在（1，e）遞增，由f（x）在區(qū)間（

1

e

，e）上恰有一個零點，得不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=a-

2a-1

x

，
∴k=f′（1）=a-2a+1=1，解得：a=0，
∵f（1）=ln1+b=1，解得：b=1，
∴a=0，b=1；
（2）∵f′（x）=

ax-(2a-1)

x

，且a＞

1

2

，
令f′x）＞0，解得：x＞2-

1

a

，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜2-

1

a

，
∴f（x）在（0，2-

1

a

）遞減，在（2-

1

a

，+∞）遞增；
（3）a=1時，f（x）=x-lnx+b，
∴f′（x）=1-

1

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（

1

e

，1）遞減，在（1，e）遞增，
若f（x）在區(qū)間（

1

e

，e）上恰有一個零點，
∴

f( 1 e )＞0 f(e)＜0

，或

f( 1 e )＜0 f(e)＞0

，或f（1）=0，
解得：1-e＜b＜1-

1

e

，
∴實數(shù)b的取值范圍是（1-e，1-

1

e

）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．