Question

5．以下判斷正確的序號(hào)是（2）（3）（4）
（1）函數(shù)y=f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x₀）=0是x₀為函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的充要條件．
（2）$\int_0^4{（|x-1|+|x-3|）}dx$=10．
（3）已知函數(shù)f（x）=x³+x，對(duì)任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，則x的取值范圍為（-2，$\frac{2}{3}$）．
（4）設(shè)f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f_n+1（x）=f′_n（x）n∈N，若△ABC的內(nèi)角A滿足${f_1}（A）+{f_2}（A）+…+{f_{2014}}（A）=\frac{1}{3}$，則sin2A=$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 由極值點(diǎn)的定義和充分必要條件的定義，結(jié)合f（x）=x³，即可判斷（1）；
討論x的范圍，去絕對(duì)值，求出被積函數(shù)，計(jì)算即可判斷（2）；
判斷f（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，將不等式化為mx+x-2＜0，再由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得不等式組，解得即可判斷（3）；
求出導(dǎo)數(shù)，可得f_n+4（x）=f_n（x），可得一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值和為0，化簡(jiǎn)原式可得cosA-sinA=$\frac{1}{3}$，平方運(yùn)用同角關(guān)系和二倍角的正弦公式，即可判斷（4）．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x₀）=0是x₀為函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的必要條件，
比如f（x）=x³，有f′（x）=3x²，f′（0）=0，但x=0不為極值點(diǎn)，故（1）錯(cuò)；
（2）$\int_0^4{（|x-1|+|x-3|）}dx$=${∫}_{0}^{1}$（1-x+3-x）dx+${∫}_{1}^{3}$（x-1+3-x）dx+${∫}_{3}^{4}$（x-1+x-3）dx
=（4x-x²）|${\;}_{0}^{1}$+2x|${\;}_{1}^{3}$+（x²-4x）|${\;}_{3}^{4}$=4-1+6-2+16-16-（9-12）=10．則（2）正確；
（3）函數(shù)f（x）=x³+x，f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，
對(duì)任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，即有f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
即有mx-2＜-x，即為mx+x-2＜0，則-2x+x-2＜0且2x+x-2＜0，解得-2＜x＜$\frac{2}{3}$，則（3）正確；
（4）設(shè)f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f_n+1（x）=f′_n（x）n∈N，
可得f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，…可得f_n+4（x）=f_n（x），
由于f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
若△ABC的內(nèi)角A滿足${f_1}（A）+{f_2}（A）+…+{f_{2014}}（A）=\frac{1}{3}$，即有f₁（A）+f₂（A）=$\frac{1}{3}$，
可得cosA-sinA=$\frac{1}{3}$，平方可得cos²A-2cosAsinA+sin²A=$\frac{1}{9}$，即有1-sin2A=$\frac{1}{9}$，
則sin2A=$\frac{8}{9}$．則（4）正確．
故答案為：（2）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，主要是函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的關(guān)系、定積分的計(jì)算和函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問(wèn)題的解法、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和三角函數(shù)的求值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．