【題目】已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列,對任意
,
滿足如下兩個條件:①
是
的倍數(shù);②
.
(1)若,
,寫出滿足條件的所有
的值;
(2)求證:當(dāng)時,
;
(3)求所有可能取值中的最大值.
【答案】(1)(2)見解析(3)85
【解析】
(1)根據(jù)滿足的兩個條件即可得到滿足條件的所有
的值;
(2)由,對于任意的
,有
. 當(dāng)
時,
成立,即
成立;若存在
使
,由反證法可得矛盾;(3)由(2)知
,因為
且
是
的倍數(shù),可得
所有可能取值中的最大值.
(1)的值可取
.
(2)由,對于任意的
,有
.
當(dāng)時,
,即
,即
.
則成立.
因為是
的倍數(shù),所以當(dāng)
時,有
成立.
若存在使
,依以上所證,這樣的
的個數(shù)是有限的,設(shè)其中最大的為
.
則,
成立,因為
是
的倍數(shù),故
.
由,得
.
因此當(dāng)時,
.
(3)由上問知,因為
且
是
的倍數(shù),
所以滿足下面的不等式:
,
.
則,
,
,
,
,
,
,
,
,
,當(dāng)
時,
這個數(shù)列符合條件.
故所求的最大值為85.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某中學(xué)甲、乙兩班共有25名學(xué)生報名參加了一項 測試.這25位學(xué)生的考分編成的莖葉圖,其中有一個數(shù)據(jù)因電腦操作員不小心刪掉了(這里暫用x來表示),但他清楚地記得兩班學(xué)生成績的中位數(shù)相同.
(Ⅰ)求這兩個班學(xué)生成績的中位數(shù)及x的值;
(Ⅱ)如果將這些成績分為“優(yōu)秀”(得分在175分 以上,包括175分)和“過關(guān)”,若學(xué)校再從這兩個班獲得“優(yōu)秀”成績的考生中選出3名代表學(xué)校參加比賽,求這3人中甲班至多有一人入選的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知為圓
的直徑,點
為線段
上一點,且
,點
為圓
上一點,且
.點
在圓
所在平面上的正投影為點
,
.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,則;
(2)已知.
①化簡f(α);
②若f(α),且
,求cos α-sin α的值;
③若,求f(α)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的側(cè)面
是平行四邊形,
,平面
平面
,且
分別是
的中點.
(1)求證:平面
;
(2)當(dāng)側(cè)面是正方形,且
時,
(�。┣蠖娼�的大小;
(ⅱ)在線段上是否存在點
,使得
?若存在,指出點
的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
,數(shù)列
滿足條件:對于
,
,且
,并有關(guān)系式:
,又設(shè)數(shù)列
滿足
(
且
,
).
(1)求證數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列
的通項公式;
(2)試問數(shù)列是否為等差數(shù)列,如果是,請寫出公差,如果不是,說明理由;
(3)若,記
,
,設(shè)數(shù)列
的前
項和為
,數(shù)列
的前
項和為
,若對任意的
,不等式
恒成立,試求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是,且各次射擊的結(jié)果互不影響,假設(shè)這名射手射擊3次.
(1)求恰有2次擊中目標(biāo)的概率;
(2)現(xiàn)在對射手的3次射擊進行計分:每擊中目標(biāo)1次得1分,未擊中目標(biāo)得0分;若僅有2次連續(xù)擊中,則額外加1分;若3次全擊中,則額外加3分.記為射手射擊3次后的總得分,求
的概率分布列與數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式在
時恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)時,證明:
.
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