【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有極值,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)當時,若
在
,
處導(dǎo)數(shù)相等,證明:
;
(3)若函數(shù)在
上有兩個零點
,
,證明:
.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)證明見解析
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)存在穿過型零點求解;
(2)由得出
,利用基本不等式得出
,然后計算
可得證;
(3)轉(zhuǎn)化為
,通過研究
的單調(diào)性、極值得出
的兩個零點的范圍,不妨設(shè)不妨設(shè)
,然后分類討論,若
,則結(jié)論成立;
若,即
時,構(gòu)造新函數(shù)
,
,通過導(dǎo)數(shù)(需兩次求導(dǎo))得出
的單調(diào)性,由
的關(guān)系:
.可證得結(jié)論,
解:(1)由題意知,
因為有極值,所以當
,
有解,所以
.
(2)證明:,由
,
得,
即,
因為,且
,
所以,得
,
則.
(3)證明:,
即,令
,則
,
則函數(shù)在
上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增,
.
令,其中
,
則,
當時,
,故
,
從而當時有兩個零點,
不妨設(shè),
若,則結(jié)論成立;
若,即
時,
令,
,
則,
令,則
,
∴在
上單調(diào)遞增,
則,
∴在
上單調(diào)遞減,
∴,
即在
上恒成立,
∴,
∵,
,
而在
上單調(diào)遞增,
∴,即
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異“.意思是兩個同高的幾何體,如果在等高處的截面積都相等,那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件,若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的圓的三分之一,則該幾何體的體積為( )
A.πB.
πC.4
D.
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【題目】設(shè)是2020項的實數(shù)數(shù)列,
中的每一項都不為零,
中任意連續(xù)11項
的乘積是定值
.
①存在滿足條件的數(shù)列,使得其中恰有365個1;
②不存在滿足條件的數(shù)列,使得其中恰有550個1.
命題的真假情況為( )
A.①和②都是真命題B.①是真命題,②是假命題
C.②是真命題,①是假命題D.①和②都是假命題
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【題目】橢圓的離心率為
,左焦點
到直線
的距離為10,圓
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓上任意一點,
為圓
的任一直徑,求
的取值范圍;
(3)是否存在以橢圓上點為圓心的圓
,使得過圓
上任意一點
作圓
的切線,切點為
,都滿足
?若存在,求出圓
的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,直三棱柱中,
,
,
.以
,
為鄰邊作平行四邊形
,連接
和
.
(1)求證:平面
;
(2)線段上是否存在點
,使平面
與平面
垂直?若存在,求出
的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在正方體中,棱
的中點為
,若光線從點
出發(fā),依次經(jīng)三個側(cè)面
,
,
反射后,落到側(cè)面
(不包括邊界),則入射光線
與側(cè)面
所成角的正切值的范圍是( )
A.B.
C.
D.
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【題目】“勾股定理”在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”,國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細證明如圖所示的“勾股圓方圖”中,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形
若直角三角形中較小的銳角
,現(xiàn)在向該大止方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在陰影部分的概率是
A. B.
C.
D.
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【題目】共享單車又稱為小黃車,近年來逐漸走進了人們的生活,也成為減少空氣污染,緩解城市交通壓力的一種重要手段.為調(diào)查某地區(qū)居民對共享單車的使用情況,從該地區(qū)居民中按年齡用隨機抽樣的方式隨機抽取了人進行問卷調(diào)查,得到這
人對共享單車的評價得分統(tǒng)計填入莖葉圖,如下所示(滿分
分):
(1)找出居民問卷得分的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)請計算這位居民問卷的平均得分;
(3)若在成績?yōu)?/span>分的居民中隨機抽取
人,求恰有
人成績超過
分的概率.
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