Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，.以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.

（1）求證：平面；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；

（2）先根據(jù)圖形建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩平面垂直得到二面角的平面角為，再分別算出兩平面的法向量，使兩個(gè)法向量的夾角的余弦值為0，即可求解.

解：（1）

證明：如圖所示：連接，

∵四邊形為平行四邊形，

∴，

又，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又平面，

平面，

∴平面.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面垂直，

則平面與平面的二面角為直二面角，

設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則，

如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵，，，

∴，，，，

∵點(diǎn)在上，∴設(shè)點(diǎn)，

∴，，，

分別設(shè)平面和平面的法向量為，，

則 ，，

即，，

∴取，，

則，

∴，即，∴，

即，∴.