Question

如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合，則把函數(shù)稱為N函數(shù).

例如：就是N函數(shù).

（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①，②，③中，哪些是N函數(shù)？（只需寫出判斷結(jié)果）；

（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為N函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).

（注：“”表示不超過的最大整數(shù)）

Answer 1

解：（Ⅰ）只有是N函數(shù).                      

（Ⅱ）函數(shù)是N函數(shù).

      證明如下：

      顯然，，.     -

不妨設(shè),

由可得，

      即.

      因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/01/14/2014040114113033596289.files/image220.gif'>，恒有成立，

      所以一定存在，滿足，

      所以設(shè)，總存在滿足，

所以函數(shù)是N函數(shù).      

（Ⅲ）（1）當(dāng)時(shí)，有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù).         -

     （2）當(dāng)時(shí)，① 若，有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù). -

                        ② 若，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得

                              ，

                           所以，都有

所以函數(shù)都不是N函數(shù). 

                        ③ 若，令，則，

所以一定存在正整數(shù)使得 ，

所以，使得，

所以.

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,所以；

當(dāng)時(shí)，,所以，

所以，都有，

所以函數(shù)都不是N函數(shù).

    綜上所述，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).