Question

某人在同一城市開(kāi)了兩家小店，每家店各有2名員工．節(jié)日期間，每名員工請(qǐng)假的概率都是

1

2

，且是否請(qǐng)假互不影響．若某店的員工全部請(qǐng)假，而另一家店沒(méi)有人請(qǐng)假，則調(diào)劑1人到該店以維持正常運(yùn)轉(zhuǎn)，否則該店就關(guān)門(mén)停業(yè)．計(jì)算：
（Ⅰ）有人被調(diào)劑的概率；
（Ⅱ）停業(yè)的店鋪數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)出事件列出概率運(yùn)用公式求解．
（Ⅱ）求出X的可能取值為0，1，2．分別求解概率，列出分布列求出數(shù)學(xué)期望，

解答： 解 （Ⅰ）設(shè)某人所開(kāi)的兩家小店分別為A和B，
分別記A、B的員工全部請(qǐng)假為事件A₀、B₀，A、B的員工有1人，
沒(méi)有請(qǐng)假為事件A₁、B₁，A、B的員工都沒(méi)有請(qǐng)假為事件A₂、B₂，A、B的員工至少有1人沒(méi)有請(qǐng)假為事件A₃、B₃． 
由已知有，P ( A0 )=P ( B0 )=( 

1

2

 )2=

1

4

，
P ( A1 )=P ( B1 )=

C

1 2

• ( 

1

2

 )2=

1

2

，
P ( A2 )=P ( B2 )=( 

1

2

 )2=

1

4

，
P ( A3 )=P ( B3 )=1-( 

1

2

 )2=

3

4

，
有人被調(diào)劑的概率為P ( A0 B2+A2B0 )=P ( A0 ) P ( B2 )+P ( A2 ) P ( B0 )=2×

1

4

×

1

4

=

1

8

．  
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2．
P（X=0）=P（A₃B₃+A₀B₂+A₂B₀）=P（A₃）P（B₃）+P（A₀B₂+A₂B₀）=

3

4

×

3

4

+

1

8

=

11

16

，P ( X=1 )=P ( A0B1+A1B0 ) =P ( A0 ) P ( B1 )+P ( A1 ) P ( B0 )=2×

1

4

×

1

2

=

1

4

，P ( X=2 )=P ( A0B0 ) =P ( A0 ) P ( B0 ) =

1

4

×

1

4

=

1

16

．       
所以，X的分布列是

X	0	1	2
p	11 16	1 4	1 16

X的數(shù)學(xué)期望EX=0×

11

16

+1×

1

4

+2×

1

16

=

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率，分布列，數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．